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Des outils mathématiques en Meccano
De nombreuses professions utilisent des objets
mathématiques, les ingénieurs, les architectes, les géomètres, les cartographes
etc… de nos jours, un ordinateur leur permet de résoudre tous les problèmes
liés aux calculs et aux tracés de ces objets. Mais jusqu’aux années 70, tous
ces travaux étaient effectués manuellement, à l’aide de quelques outils de
conception entièrement mécanique.
L’idée m’est venue de réaliser certains des outils de
dessins, en usages dans les siècles précédents, en utilisant des pièces
Meccano. Mais dès le début on se trouve confronté à un problème : Meccano
est parfait pour réaliser des mécanismes élaborés, mais totalement imprécis
pour des mécanismes simples n’utilisant que des articulations.
En effet, la visserie Meccano de 3,8mm présente un jeu
considérable dans les trous de 4,2mm. L’idéal serait de munir les deux parties
d’une articulation d’un bras de manivelle. Dans ce cas une tige Meccano de
4,05mm présente un jeu très satisfaisant dans les colliers des bras de
manivelle, percée à 4,1mm. Le problème reste entier car les vis servant à fixer
les bras de manivelle empêchent la fermeture complète de l’articulation, on peut
évidemment placer une entretoise, mais l’articulation mesure alors 25mm
d’épaisseur, ce qui est trop pour des articulations minces devant se superposer
sur parfois trois niveaux.
J’ai trouvé plusieurs solutions pour contourner ces
problèmes :
-1- Utiliser des rivets Hornby prévus pour les
attelages de wagons et dont des répliques sont toujours en vente pour restaurer
des wagons. Ces rivets de 4,1 mm extérieur, s’encastrent sans aucun jeu dans
les bandes perforées.
-2- Agrandir les trous à 4,5mm et placer des rivets
standards de 4,5mm et qui ont l’avantage d’avoir un trou de 4, 05mm pour
laisser le passage d’une tringle Meccano.
-3- Utiliser la visserie Erector de 1930 aux normes
américaines de 4mm au lieu de 3,8mm.
-4- Agrandir le trou à 8mm et sertir un moyeu récupéré
sur une épave de roue Meccano, ce qui évite l’utilisation d’un bras de
manivelle fixé par des vis.
En combinant ces quatre procédés, on peut construire
tous les types d’articulations nécessaires, avec un jeu très réduit et donc une
précision suffisante pour ces outils. Reste également à savoir profiter de
pièces pseudo-Meccano régulièrement vendu lors des expos. Des tringles de
4,05mm en tronçon de 1m, des bandes et des cornières étroites de différentes
longueurs, des cornières en U de grande longueur, des vérins en laiton utilisés
par les constructeurs d’engins de levages etc… A chaque expo des pièces hors
normes sont proposées, il faut savoir profiter de ces occasions en disant ça
peut servir…
Il faut aussi parfois couper, percer ou tordre
certaines pièces. Eventuellement agrandir la longueur des glissières dans
certaines bandes à glissière.
L’intégraphe ou compas intégrateur est un outil
permettant de construire la courbe intégrale d’une courbe donnée. Basé sur les
travaux de Abdank-Abakanowicz, cet
appareil a été mis au point par Coradi à la fin du 19ième mais n’a
été réellement commercialisé qu’au début du 20ième siècle.
Contrairement aux planimètres qui ne font que mesurer des aires, l’intégraphe
trace réellement la courbe intégrale d’une autre courbe et de ce fait
appartient à la famille des compas. Cette courbe intégrale permet de calculer
rapidement l’aire sous la courbe initiale.
Récemment, un modèle de ce compas
intégrateur a été réalisé en LEGO-TECHNIK, il eut été dommage de ne pas tenter
une réalisation un en Meccano.
Ce type d’intégraphe se compose de quatre chariots
indépendants les uns des autres et dont l’interaction permet de tracer la
courbe intégrale.
Le premier chariot, le plus simple à réaliser, roule
directement sur le plan de travail qui doit être parfaitement lisse mais pas
glissant. J’ai utilisé une planche en mélanine blanche de 50cm sur 80cm.
Ce chariot assure le mouvement suivant la direction de
l’axe des abscisses dessiné à même la planche.
Des roues de 25mm avec pneus, fixées sur des axes
traversant toute la longueur du chariot permet d’éviter à celui-ci de dévier de
sa trajectoire toujours parallèle à l’axe des abscisses.
La tringle pivot située près du centre de ce chariot
doit impérativement rester à la verticale de l’axe des abscisses pendant tous
les déplacements du chariot.
Le bâti du chariot est constitué de trois cornières de
37 trous, de deux cornières de 25 trous, d’une bande de 25 trous (l’axe des X)
et d’une poutrelle plate de 43 trous (coupée dans une poutrelle de 49 trous).
Quatre bandes de 5 trous viennent renforcer les angles.
Le second chariot, ou chariot enregistreur, suit le
tracé de la courbe initiale (ici la droite y = x) afin de transmettre les
données au reste du système. Ce chariot roule sur les deux cornières à droite
du premier chariot, donc toujours suivant la direction de l’axe des ordonnées.
Le déplacement simultané des deux chariots permet au pointeau de suivre le
tracé d’une courbe. La distance entre les deux tringles verticales situées sur
ces deux chariots doit déterminer l’unité utilisée pour les tracés des courbes.
Ce chariot est constitué de cornières étroites de 5, 9 et 12 trous et de deux
poutrelles plates de 3 trous. Les roues sont des poulies en laiton de 16mm sans
moyeux.
Le troisième chariot n’est pas monté sur roues, c’est
une simple glissière qui coulisse librement sur les deux tringles verticales
situées sur les chariots N°1 et N°2. Un peu de graisse facilite ce mouvement.
Cet élément, le plus simple à réaliser, est l’élément clé du mécanisme. Sa
direction (en mathématique, sa pente ou coefficient directeur) est toujours
proportionnelle à l’ordonnée du pointeau enregistreur et cette direction sera
transmise à la roue directrice du quatrième chariot.
Le quatrième chariot, ou chariot traceur, dessine la
courbe intégrale. Il est relié au quatrième chariot par un parallélogramme
articulé de sorte que la roue de 25mm munie d’un anneau de caoutchouc soit
toujours parallèle au troisième chariot. Cette roue est aussi un élément
primordial, le terme de disque tranchant utilisé pour la désigner est une
métaphore mathématique : cette roue est censée creuser une ornière et ne
pas en sortir elle doit assurer au chariot traceur de suivre la bonne direction
quoi qu’il arrive. C’est la roue avant du tricycle, le gouvernail de ce
chariot, et cela implique une adhérence parfaite aussi bien au niveau du choix
du support (évitons tous ce qui ressemble à une plaque de verglas) qu’au niveau
du pneumatique (genre roue de vélo de course). Des essais concluants ont été
fait avec une lame tranchante en forme de fer de hache mais cela raye le
support, de même pour une roulette très affutée.
La position de
cette roue détermine la trajectoire du chariot traceur sur la poutrelle plate
de 43 trous. Ce chariot porte à son extrémité gauche un porte-mine et il est
lesté en trois endroits : à droite pour éviter que les poulies de 15mm
quittent la poutrelle-rail, au centre pour que la roue gouvernail ne ripe pas
sur le papier, quant
au lest de gauche, il ne porte que sur le porte-mine qui coulisse librement de
haut en bas. Deux des lests sont en plomb ; ils remplacent des empilements
de pièces Meccano ; ils sont moins encombrants et surtout évitent un
gâchis inutile de pièces.
Le porte mine est un tube de 4mm, intérieur 3mm, doublé à son extrémité d’un tube de 3mm où coulisse une mine de 2mm. Une fente à cette extrémité permet à la bague d’arrêt de serrer la mine.
Le lest en plomb repose sur la roue à barillet ;
il peut être remplacé par un empilement de disques de 35mm.
Lorsque les quatre chariots sont positionnés, il reste à placer les côtés du parallélogramme (deux bandes étroites de 25 trous) qui relient la pièce en T (7 trous) du chariot coulissant avec les deux bandes de 7 trous solidaires et perpendiculaires à la roulette gouvernail du chariot traceur.
Personnellement je n’ai vraiment réussi à comprendre
le fonctionnement de l’Intégraphe, qu’après l’avoir vu fonctionner, c’est
bluffant de constater qu’une simple roulette directrice puisse à ce point
forcer le déplacement du chariot et donc du porte mine.
On peut remarquer sur la gauche la parabole tracée par
le porte-mine, c’est effectivement la courbe intégrale de la droite y = x
parcourue par le curseur du chariot N°1 à droite.
Un dernier volet pour finir cet article ; il est
réservé à ceux qui ne se contentent pas du comment, mais veulent aussi
comprendre le pourquoi.
Un peu de Mathématiques, niveau terminale est
nécessaire pour assimiler ce qui suit.
La théorie de cet instrument est extrêmement simple et dépend de la
relation existante entre la courbe donnée et une courbe intégrale
correspondante.
L’instrument est construit comme il suit : Un chariot rectangulaire C se
déplace sur des roulettes au-dessus du plan dans une direction parallèle à
l’axe des X de la courbe y= f(x).
Deux cotés du chariot sont parallèles à l`axe des X, les deux autres,
naturellement, lui sont perpendiculaires. Le long de l’un de ces cotés
perpendiculaires se déplace un petit curseur C1 portant la pointe à
tracer T, et le long de l’autre, un petit curseur C2 portant une
tige F, qui peut tourner autour d’un axe perpendiculaire à la surface et qui
supporte le disque tranchant D, au plan duquel cette tige est perpendiculaire.
Un bouton S1 est fixé sur le curseur C1 de façon à être à
la même distance de l’axe, des X que la pointe à tracer T. Un second bouton S2
est, fixé dans une traverse du chariot principal C, de façon à être sur
l’axe des X. Une barre évidée R relie ces deux boutons et coulisse sur eux. Un
curseur transversal H glisse sur cette barre et est relié à la traverse F par
un parallélogramme. La partie essentielle de l’instrument consiste dans le
disque tranchant D qui, appuyé par une pression, se déplace sur une surface
plane continue (papier). Ce disque ne glisse pas et par suite, quand il roule,
il doit toujours se déplacer le long d’un chemin auquel la trace du plan du
disque est tangente en chaque point.
Si maintenant on met ce disque en mouvement, il est évident, d’après la
figure, que la construction de l’appareil assure que le plan du disque D sera
parallèle à la barre R.
Si a est la distance comprise entre les ordonnées passant par les boutons S1 et S2 et t l’angle que fait R (et par suite aussi le plan du disque) avec l’axe de X, nous avons
(A) tg t = y/a
et si
Y = F(X) est la courbe tracée par
le point de contact du disque, nous avons :
(B) tg t = dY/dX = dY/dx puisque x = X' + d, ou d = largeur de
l’appareil.
En comparant (A) et (B), il vient dY/dx = y/a ou
(C) Y = 1/a ∫ y dx = 1/a ∫ f(x)dx = F(X)
C’est-à-dire que la courbe y = F(x) est une courbe intégrale de la courbe
(D) Y = 1/a f(x)
Le facteur 1/a fixe évidemment, simplement l’échelle à laquelle la courbe intégrale est tracée et n’affecte pas sa forme.
Un crayon ou une plume est attaché au curseur C2 afin de tracer la courbe y = F(x).
Le déplacement du disque D, avant de tracer la courbe primitive, équivaut au changement de la constante d’intégration.
*texte extrait de « ELEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL
ET INTEGRAL » (Granville & Smith) 1959
Les planimètres sont des outils permettant de mesurer
directement une aire en suivant son contour. Ils n’appartiennent pas à la
famille des compas car aucun tracé n’est effectué. Dans le cas du planimètre
polaire, le point pivot est assujetti à décrire un arc de cercle.
Il y a deux familles très différentes de planimètres
polaires : le système Amsler inventé dès 1854 et le système Coradi vers
1920.
Dans le cas du système Amsler, la roulette, le pivot
et le pointeau sont alignés parallèlement à la règle.
Dans le système Coradi, la roulette est sur le côté de
la règle, et seul, l’axe pivot-pointeau est parallèle à la règle.
Dans les deux systèmes, le bloc mécanisme peut parfois
coulisser sur la règle, en fonction de l’échelle choisie. Le modèle construit
en Meccano est du type Coradi avec mécanisme coulissant.
Cet appareil comporte trois parties
indépendantes : la règle graduée avec le pointeau, le mécanisme
enregistreur, coulissant et le bras décrivant un cercle.
La règle est constituée d’une cornière en U coupée à
33 trous ; ce n’est pas une pièce Meccano standard, mais il s’en est vendu
beaucoup à Calais et on peut encore en trouver chez certains des revendeurs
habituels. L’extrémité de cette règle porte une pointe pour suivre le contour
de l’aire à mesurer. J’ai utilisé une tringle de 5cm limée en pointe d’un côté
et filetée de l’autre côté. Une bague d’un pignon en plastique s’adapte
exactement pour fixer la pointe. La tête de vis à droite, glisse sur la surface
afin que la pointe n’accroche pas le plan de travail.
Les graduations sur la règle sont obtenues à partir du scan d’un mètre à ruban métallique. Elles doivent être positionnées de façon à ce que l’index marque exactement la distance entre le pointeau et le pivot.
Le chariot coulissant sur la règle est constitué de
plusieurs bandes coupées et coudées aux longueurs nécessaires. Des blocs d’acier ou de laiton ont été
filetés car les accouplements Meccano filetés sont un peu trop longs.
Une petite roue à barillet de Meccano-Elec assure le
positionnement horizontal du chariot.
Une roue à boudin, dont on a meulé le rebord, est
fixée du côté gauche pour porter le vernier.
Un axe de 5cm à bouts coniques (Meccano Elec) porte
l’autre roue à boudin graduée et une vis sans fin. Cette dernière s’engrène sur
un pignon de 10 dents soudé sur un disque de 35mm gradué de 0 à 9. Le pignon de
10 dents est aussi fixé sur un axe à bouts coniques de 2cm (fabrication maison
car il n’existe pas d’axe aussi court dans Meccano-Elec). Les deux axes du
mécanisme sont maintenus par les boulons pivots de Meccano-Elec (le boulon
pivot inférieur devra être raccourci). Le plus difficile reste à faire… il faut
fabriquer les graduations pour la roue à boudin de 28mm. D’abord il faut
scanner un tronçon de réglet entre 0 et 10, éventuellement repositionner les
N°, puis recopier le tronçon 0-1 le réduire au 9/10 et le positionner face au
précédent pour constituer le vernier.
Réduire le segment à la longueur du périmètre de la
roue à boudin, puis, avant de l’imprimer sur papier photo brillant, recopier
plusieurs fois le motif en variant la longueur d’une fraction de mm car aucun
calcul ne peut faire face aux impondérables d’une imprimante. Avec de la
chance, dès le premier essai, l’une des bandes recouvre parfaitement le contour
de la roue, attention on ne veut pas du presque parfait. Si l’on veut que le
vernier fonctionne, il faut une précision au moins de 0,1mm.
Le troisième élément est un bras constitué de 3 bandes
de 25 trous avec une cheville filetée à une extrémité et articulée sur un
tronçon de cylindre Meccano à l’autre extrémité.
Le cylindre Meccano est trop long, j’ai tronçonné un vieux
cylindre défraichi (on peut aussi utiliser une bande de 3 par 11 trous
enroulée), un lest de plomb est fixé à l’intérieur. Il est traversé par un tube
de 4mm doublé à l’extrémité par un tube de 3mm. Une encoche sur ce tube permet
à la vis de la bague d’arrêt de serrer une pointe de phono dépassant de 2mm.
Cela permet à cette masse de ne pas riper pendant le suivi d’un contour.
Avant d’aller plus loin, il faut vérifier que l’axe
passant par le pointeau et le pivot de l’articulation entre le bloc mécanisme
et le bras, est bien parfaitement parallèle à la règle.
Il reste à calibrer le mécanisme. Pour cela on doit
déplacer le chariot, cm par cm, à chaque position, prendre plusieurs fois le
contour d’une aire connue ( j’ai choisi un carré
1dm²). Bien noter ces réponses dans un tableau. Il faut affiner les calculs au
points importants (x4, x3, x2, x1,5 & x1) puis les marquer sur la règle
graduée. Ne pas essayer de faire les calculs mathématiquement, vos calculs
seront sans doute parfaits, mais les résultats seront décevants.
Une démonstration complète du fonctionnement
mathématique d’un planimètre polaire est trop complexe pour être développée
ici. Mais en simplifiant au maximum, on peut retenir trois points
essentiels :
-1- Si les deux extrémités d’un segment décrivent des
courbes fermées, l’aire balayée par ce segment est égale à la différence entre
les aires de ces deux courbes.
-2- Une roue dont l’axe est parallèle et solidaire du
segment tourne d’un angle proportionnel à l’aire balayée par le segment.
-3- Dans le cas du planimètre, le segment est
déterminé par le pivot et le pointeau. Le pivot décrit un aller et retour sur
un arc de cercle donc une aire nulle. Le pointeau décrit l’aire à mesurer. Donc
le segment balaie une aire égale à l’aire à mesurer.
Le principe de cet appareil est très simple, assez
voisin du pantographe. Il est basé sur la déformation de parallélogrammes
articulés. La grande innovation sur cet appareil est qu’entre deux pointes, il
n’y ait jamais plus de 4 articulations, ce qui limite les imprécisions dues au
jeu des articulations.
Il permet
diverses opérations de fractionnement d’un segment.
-1- Partager un segment en parties égales… entre 2 et
10 parties.
-2- Reporter une fraction de segment… n/m avec n et m
< 11
-3- Servir de compas de réduction.
Le compas qui a servi de modèle a été réalisé par
Theo. Alteneder & Sons (U.S.A.), ses mesures sont
toutes en pouces, ce qui est pratique pour le reproduire en Meccano.
La réalisation pratique en Meccano nous place face à
plusieurs problèmes.
Les bandes Meccano classiques sont trop larges et
celles étroites ne sont pas assez rigides. J’ai donc dû, comme sur le modèle,
combiner des bandes étroites et des bandes normales.
Les bandes étroites en bas du modèle doivent
impérativement se terminer par une série de pointes très régulières… Il faut
donc effectuer une découpe à l’extrémité de ces bandes.
Les trous Meccano sont de 4,2mm et la visserie est de
3,8mm, donc 0,4mm d’erreurs possible par articulation et jusqu’à 1,6mm d’erreur
entre deux pointes, ce qui est énorme pour un compas de précision.
Il est donc impensable d’utiliser la visserie Meccano.
Par chance, Frank Hornby avait utilisé des rivets de 4,2mm pour fixer les
attelages des trains Hornby… et ces rivets Hornby sont toujours commercialisés
pour restaurer les trains… Ce n’est plus Meccano qui les fabrique, mais ce sont
des répliques parfaites.
Plus aucun jeu dans les articulations… ça force un
peu, mais pas plus que nécessaire pour un compas.
Inscrire un N° à la base de chacune des pointes n’est
pas indispensable, mais cela facilite beaucoup l’utilisation de ce compas. Des
chiffres à frapper permettent une inscription régulière et inaltérable.
1924, ce curieux modèle. En fait le modèle présente
deux erreurs : le point D a été oublié à l’impression et les éléments KH
et GH sont totalement inutiles et même gênants pour un fonctionnement sans
à-coup.
Une fois ces erreurs réparées on constate que ce
mécanisme comporte deux parties :
-1- un simple compas EA permettant de
tracer un cercle de centre E passant par F.
-2- Le compas d’inversion de centre F,
constitué des éléments FB, FD et du losange ABCD.
Si l’on retire le On trouve, dans le manuel Meccano de
bras EA, il reste le compas d’inversion, tel que les point A et C soient
inverses l’un de l’autre, c’est-à-dire que le produit FA.FC soit constant, dans
le cas présent, on a FA.FC = FB² - AB².
Ce compas d’inversion peut être utilisé seul pour
faire tracer par un crayon
placé en C la courbe inverse de celle suivie par le point A. Et
si A décrit le cercle de rayon EA, alors le point C décrit une droite.
Effectivement, sous certaines conditions l’inverse d’un cercle est bien une
droite.
Au niveau réalisation, on se trouve confronté au même
problème que pour le compas diviseur : des trous de 4,2mm et une visserie
de 3,8mm… il y a beaucoup trop de jeu et les tracés sont trop imprécis.
Dans la réalisation de ce modèle, le plus difficile
est d’éliminer toutes les sources d’imprécision… Il ne faut donc absolument pas
utiliser de boulons pour les diverses articulations. On ne peut pas non plus
mettre des rivets partout comme pour le compas diviseur, car certains éléments
doivent être démontables.
Pour le losange articulé, j’ai choisi des rivets de
4,8mm. J’ai agrandi les trous à 4,8mm pour que cet élément important s’articule
facilement et sans aucun jeu. L’avantage de ces rivets est qu’ils permettent
exactement le passage d’une tringle meccano. On peut ainsi utiliser des bras de
manivelle pour les deux articulations suivantes. Page suivante, l’articulation
du centre d’inversion est fixée sur la plaque rouge par une roue à barillet,
l’axe dépasse et pénètre la planche à dessin. Une autre roue à barillet est
fixée sur la planche avec un axe s’enfonçant de 2cm dans le bois ; la
plaque rouge n’est maintenue sur cet axe que par une simple bague d’arrêt.
L’articulation de la partie compas est également un rivet assurant une parfaite
rotation sans aucun jeu. Eventuellement un boulon peut renforcer ce rivet.
Un crayon peut être enfoncé en force dans le rivet
sans gêner l’articulation. Une tringle meccano à l’extrémité arrondie est
bloquée par deux bagues d’arrêt sur l’autre rivet pour suivre le tracé de la
courbe à inverser.
J’ai choisi des bandes de 10 trous pour constituer le
losange et une bande de 11 trous pour actionner le mouvement circulaire.
Ainsi construit, ce mécanisme fonctionne avec une
grande précision. La droite est tracée avec une précision de l’ordre du mm. Avec le modèle Meccano de 1924 des erreurs de 5 ou 6 mm
étaient fréquentes.
Cette précision était indispensable car ce compas à
inversion va servir de premier niveau pour le compas à Cissoïde du chapitre
suivant
Entre le troisième et le premier siècle avant
Jésus-Christ, la ville d’Alexandrie était connue pour son école où les plus
prestigieux savants du monde venaient y enseigner et y faire de la recherche.
En particulier, l’étude de la géométrie était déjà très avancée. Trois
problèmes étaient restés longtemps sans solution : la quadrature du
cercle, la duplication du cube et la trisection de l’angle… impossible à
réaliser à la règle et au compas classique, les outils de l’époque. Les
géomètres de l’époque furent amenés à étudier d’autres courbes pour les
résoudre et plus particulièrement les Cissoïdales.
Deux courbes (C) et (C’) étant tracées, on obtient
leur Cissoïdale de pôle O en traçant une sécante Δ passant par O.
Cette sécante coupe (C) et (C’) en A et B, on place M sur Δ tel que
vecteur OM = vecteur AB. L’ensemble des points M lorsque Δ pivote autour
de O constitue la Cissoïdale des courbes (C) et
(C’) de pôle O. Les Cissoïdales les plus étudiées à cette époque étaient celles
obtenues à partir de droites, de cercles et éventuellement de coniques.
Si
la courbe (C) est un cercle, la courbe (C’) une droite et le pôle O un point du
cercle on obtient une Cissoïde. Une Cissoïde oblique si la droite n’est pas
perpendiculaire au diamètre passant par O et une Cissoïde droite si la droite
est perpendiculaire au diamètre passant par O. Parmi les Cissoïdes droites,
nous avons la Strophoïde, lorsque la droite passe par le centre du cercle et la
Cissoïde de Dioclès lorsque la droite est tangente au Cercle. Cette dernière a
été imaginée par Dioclès pour résoudre le problème de Délos : la
duplication du cube.
Il faudra attendre le 17ième siècle pour
qu’une nouvelle génération de grands mathématiciens reprenne les travaux sur
ces courbes.
Le problème de ces tracés, est qu’il faille les
réaliser point par point, c’est long et moins précis qu’un tracé continu. Nous
avons déjà un outil (le compas d’inversion) qui suit simultanément un cercle et
une droite, il suffit de lui adjoindre une deuxième partie qui place le point M
tel que vecteur OM = vecteur AB, ce qui est assez simple à réaliser pour une
Cissoïde droite quelconque.
En utilisant un deuxième compas d’inversion identique
à OEABF soit O’E’A’B’F’ et en le positionnant tel que O’ soit en B et B’ soit
en O, le point A’ vient se positionner en M et si l’on place un crayon en A’ on
peut ainsi tracer une Cissoïde Droite.
Pour la Cissoïde de Dioclès, il faut que la droite (D) soit tangente en
T au cercle (C) et là le Meccano n’est plus d’accord : lorsque A se rapproche
de T, la distance AB se rapproche de 0, or les points A et B ne peuvent se
rapprocher de moins d’une largeur de bande donc cette partie du tracé ne pourra
pas se faire, même avec des bandes étroites. Autre problème, on a la formule
OT² = OA.OB = OE² - EA²
et OT = 2 OI
Trouver un théorème de Pythagore avec des nombres
entiers n’est pas évident, la seule possibilité compatible avec Meccano est 26² = (2 x 12)² +
10². Il faut donc utiliser des bandes de 27 trous, de 13 trous et de 11 trous
pour avoir respectivement 26, 12 et 10 espaces.
Les 4 bandes de 25 trous devront être allongée de 2 trous. Plus rien ne
s’oppose à la construction du compas à Cissoïde de Dioclès et la duplication du cube devient réalisable à
la règle et au compas à Cissoïde.
La construction d’un tel système nécessite plusieurs
niveaux d’articulations. Les diverses parties ne doivent pas se gêner et
risquer un blocage.
De ce fait, l’ensemble fonctionne sur quatre niveaux,
ce qui n nécessite une épaisseur de 3cm obtenue par deux plaques à rebord
réunies par deux poutrelles.
Dès le second niveau on reconnaît un compas
d’inversion identique à celui du chapitre IV…
Mais ici il est recalculé pour que le cercle et la droite soient tangents
en T.
26² = (2 x 12)² + 10²
D’où les bandes allongées à 27 trous… Attention à ce
que les vis nécessaires à cette allonge n’interfèrent pas avec le losange donc
trois rondelles sont nécessaires.
On pourrait se contenter de ce mécanisme, mais suivre
une droite avec le point B nécessite un rail ou au moins une règle, et ce ne
serait plus le compas à Cissoïde que l’on cherche à construire.
Il faut que les deux plaques soient assemblées pour
que le tracé de la Cissoïde de Dioclès se fasse sans utiliser de guide pour le
pivot B.
En M nous avons un petit crayon, en A un pivot sur
bras de manivelle. Il faut veiller à ce que ces deux points ne se touchent pas
lors de leur croisement.
Il existe cinq méthodes pour tracer des ellipses. La
première remonte à la plus haute antiquité et est toujours utilisée, surtout
par les jardiniers pour tracer des massifs elliptiques à l’aide d’une ficelle
et de deux piquets. La seconde méthode utilise un compas à verge avec trois
poupées et un rail en croix. La troisième méthode utilise un compas à pompe
dont l’axe est incliné. La quatrième utilise un rail linéaire, un compas à
verge et deux articulations, c’est l’ellipsographe de Van Schooten
(XVIIième siècle). La cinquième utilise
également un rail linéaire avec un losange articulé transformant un mouvement
circulaire en ellipse par une affinité droite.
On peut dans les cinq cas utiliser le Meccano pour
construire les compas correspondants, nommés aussi ellipsographes.
Voici sans doute le plus simple de tous les modèles Meccano. Deux tringles de 4cm sont plantées dans la planche à dessin à l’emplacement des deux foyers et un anneau de ficelle est tendu entre un crayon et les deux tringles. En maintenant la ficelle tendue, le crayon trace une ellipse parfaite. On peut modifier l’excentricité de l’ellipse en jouant sur la longueur de l’anneau de corde.
Le deuxième type de compas à ellipse, parfois nommé
ellipsographe est constitué de deux parties distinctes : un rail en croix et un compas à verge muni de
trois poupées.
Un tel ellipsographe était contenu dans presque tous
les gros coffrets à dessin des XVIIIème et XIXème siècles.
Pour sa réalisation en Meccano, le premier élément, le
rail en croix, est constitué de quatre cornières étroites de 12 trous, coudées
à angle droit et fixées sur des poutrelles plates.
Le deuxième élément, le compas à verge est une tringle
de 13cm munie de trois poupées constituées par des accouplements. Deux des
accouplements portent une tringle de 3cm dont l’extrémité est arrondie (on peut
choisir des tringles anglaises qui sont déjà arrondies).
Le troisième accouplement porte le crayon. Eventuellement, on peut adjoindre sur la verge une bague d’arrêt pour fixer un balustre. Quand les tringles de 3cm glissent dans le rail en croix, le crayon trace une ellipse. On peut remplacer la croix par une simple équerre, mais c’est moins précis et on ne trace qu’un quart d’ellipse à la fois.
Les ellipsographes du type III n’ont été que peu
commercialisés. Ils sont moins pratiques que les précédents car le calcul des
axes est plus délicat. Le demi petit axe b, est évidement donné par l’ouverture
du compas à pompe mais, pour trouver le demi grand axe, il faut connaître
l’angle α donné par l’inclinaison de l’axe du compas : a = b / sin α .
La marque HAFF (Allemagne) propose un beau compas de
ce type,
Il est présenté ici, dans sa boîte et en position de
tracé.
Ce type de compas est très voisin du compas parfait ou
compas à coniques qui sert aussi au tracé des autres courbes comme la parabole
et l’hyperbole.
Un modèle très voisin est présenté ci-dessus. Il est bricolé
à partir d’un compas à pompe classique, d’une longue aiguille et de l’allonge
d’un autre compas munie à son extrémité d’une cornière en laiton portant deux pointes.
En réaliser un en Meccano, n’a pas posé de problème…
merci aux constructeurs d’engins de levage pseudo hydrauliques, qui ont
commercialisé des tubes de 8mm de diamètre prévus pour
faire coulisser des tringles Meccano de 4,1mm.
Grâce à ces tubes prévus pour simuler des vérins
hydrauliques, j’ai pu réaliser les deux parties coulissantes de ce compas.
Le compas à pompe est facile à construire, Des bandes
étroites, de 5 trous sont enroulées et bloquées autour du tube en laiton et le
crayon est bloqué dans un accouplement pour
bandes N° 63b. Le ressort est plus gros qu’un ressort Meccano classique
et la tige filetée est soudée sur un raccord N°212 raccourcis.
L’axe inclinable est une tringle Meccano affutée en
pointe à l’extrémité. Les détails de l’articulation sont bien visibles sur la
figure : Un accouplement court et une chape N°166 s’articule sur une bande
fixée dans une fente sur le tube en laiton. La tringle coulissante est bloquée
à la longueur voulue par une vis ; son extrémité a été filetée pour se
fixer sur une cornière de 5 trous ouverte à 120°. Cette cornière porte deux vis
percées de trous de 1,5mm pour y placer deux pointes de phonos.
Le quatrième type de compas à ellipse est
l’ellipsographe de FransVan Schooten,
(mathématicien néerlandais 1615-1660).
Il est constitué d’un rail glissière,
d’un compas à verge AC et d’un axe pivotant OD. La poupée centrale du compas à
verge, s’articule en D sur l’axe et la poupée à l’extrémité porte le crayon
traçant l’ellipse, la troisième poupée, en A, porte une tringle de 4cm, à
l’extrémité arrondie, qui glisse dans le rail.
On comprend facilement que les longueurs
OD et AD doivent être égales. Si AC = 2AD, le point C décrit une droite
perpendiculaire au rail en O. Pour
tracer une ellipse il faut que AC soit plus grand que 2AD.
Cet ellipsographe est peu maniable et trace seulement
des demi-ellipses, avec, toujours, une très forte excentricité.
L’articulation en O est constituée d’une bande étroite
de 5 trous coudée quatre fois et fixée à la bande de 10 trous par un rivet de
4,8mm (il faudra agrandir les trous en conséquence), doublé par une vis
Meccano. Cette technique déjà utilisé pour le compas à Cissoïde, assure une
très grande précision au niveau de l’articulation.
L’articulation en D est constituée d’une pièce à
œillet avec vis d’arrêt N°50a, d’un accouplement fileté court et d’un boulon
pivot moyen, fileté un peu plus, et légèrement raccourci.
La cinquième méthode, de Nikolai Delaunay (vers 1900,
sans doute père du physicien russe du même nom), utilise une transformation du
cercle appelé Dilatation ou Affinité droite obtenue à partir d’un losange
articulé : quatre verges dont deux portent des poupées coulissant sur un
rail. Ces poupées E et F doivent être placées exactement aux
mêmes position sur les deux verges AB et AD.
Les points E et F coulissent librement sur le rail
constitué par deux cornières étroites de 25 trous.
Les points A et
C sont déduits l’un de l’autre par une Affinité droite de rapport k =
EA/(EB+AB).
Le point A décrit un cercle de rayon r = OA donc le
point C décrit une ellipse de petit axe GH = 2r et de grand axe JK = 2 k r.
En utilisant des tringles Meccano au lieu de bande
perforées on peut faire varier librement la position des points O, E et F sans
être tributaire des perforations.
L’utilisation des raccords tringle-bande N°212 permet
de réaliser des articulations facilement, mais un premier essai avec un montage
standard a montrer ses défaillances.
-1- Trop de jeu avec des vis de 3,9 mm dans des trous
de 4,2 mm d’où l’utilisation de rivets Hornby de 4,1 mm.
-2- A l’effort, arrachement progressif des pièces
N°212, d’où présence d’un point de soudure, facile à éliminer au démontage.
Pour l’articulation du crayon et de la manivelle, les
trous ont été agrandis à 4,8 mm pour placer des rivets de 4,8 mm permettant le
passage d’un grand boulon pivot Meccano.
La poignée de manivelle est extraite d’une manivelle
Meccano des années 50, fortement abimée par ailleurs.
Le crayon est lesté par une poulie en laiton pour que
le trait soit bien marqué.
Malgré ces ajustements le tracé est moins parfait que
ceux obtenus à l’aide des compas de type II et III. Trop de points en
mouvement : Une rotation, quatre articulations et deux poupée
coulissantes.
En reprenant l’un après l’autre, chacun des points de
friction ou de jeu, on trouve toujours une solution, soit pour éviter le jeu
soit pour diminuer les frottements.
Mais, ce compas qui au départ était en pur Meccano est
maintenant en Meccano quelque peu malmené ( Rivets,
soudure, vis raccourcie …).
Le compas
parfait est un outil de construction géométrique inventé par Abū Sahl
al-Qūhī, un mathématicien perse du Xe siècle. Cet objet
permet de tracer des coniques, c'est-à-dire les sections d'un cône de
révolution par un plan : la droite, le cercle, l’ellipse, l'hyperbole et
la parabole. Il n'a cependant été trouvé aucun vestige archéologique
correspondant à sa description.
Les mathématiciens perses de cette époque étaient les
successeurs directs de ceux de l’école d’Alexandrie et leurs travaux en algèbre
sur les équations du second, troisième et quatrième degré étaient très avancés.
Ils résolvaient ces équations en étudiant les intersections des coniques d’où
l’intérêt d’un tel compas. Un tracé point par point est certes très précis,
mais l’utilisation du compas parfait apporte une justification de la continuité
de ces courbes.
Le bras pivot CO fait
un angle α avec la feuille, le bras traceur coulissant CM fait un angle
β avec le bras pivot. Selon les valeurs de α et de β, nous avons un cercle (α =
90° et β < 90°), une ellipse (α < 90° et β < α
), une parabole (α < 90° et
β = α ), une demi-hyperbole (α < 90° et β > α
), une droite (α < 90° et β
=90° ).
L’excentricité de la conique est donnée
par la formule : e = cos α
/ cos β .
Dans le cas de
l’ellipse, les éléments caractéristiques sont très difficiles à calculer, ce
qui en fait un outil peu pratique. Si on pose 2a = grand-axe, 2b = petit axe et
2f = distance des foyers on a :
e = f/a ,
a = L . tg
β / (4 sin α) , f = L tg β / (4 tg α . cos β) et b² =
a² - f²
où L = CO la seule constante de ce compas.
Il faudra attendre les travaux de Léonard de Vinci
pour trouver d’autres références de ce compas. Quelques modèles expérimentaux
ont vu le jour au XVIIième et XVIIIième siècles, mais aucune commercialisation
n’en a été faite.
Ce compas ressemble à un compas à ellipse de type III, avec toujours une partie à pompe, mais ici, ce n’est pas l’axe de rotation qui coulisse dans le tube, mais le bras portant le crayon. De ce fait, pour l’ellipsographe de type III, la courbe dessinée est l’intersection d’un cylindre avec le plan de travail, donc toujours une ellipse ; alors que pour le compas parfait, la courbe dessinée est l’intersection d’un cône avec le plan de travail, donc n’importe quelle conique.
Ici encore les vérins prévus pour les
engins de levages Meccano ont été utilisés pour la pompe.
Le bras, assurant la stabilité de
l’inclinaison du pivot, est une cornière en U coupée à 28 trous et renforcée
dans sa partie supérieure par deux bandes pour éliminer l’ovalisation des
trous. La base est une cornière de 7 trous, un peu refermée. En fait, à
l’usage, il semble qu’une cornière de 11 trous assure une meilleure stabilité.
Cette cornière porte deux boulons percés à 1,5mm pour y insérer des pointes de
phonos. Dans sa partie haute, ce bras s’articule avec le bras pivot par deux
bandes de 5 trous fixées sur une chape d’accouplement. Cette articulation doit
être bien serrée et s’ouvrir en forçant pour que les deux éléments gardent
l’écartement choisi pendant l’utilisation. On peut compléter cette
articulation, du côté du bras pivot, par deux petits goussets d’assemblage
N°133a pour avoir moins d’encombrement après pliage.
La partie pivotante de ce bras est
constitué de deux bandes de 20 trous portant trois chapes d’accouplement :
deux pour assurer le pivotement et une pour porter la pointe.
Le bras traçant est constitué d’un vérin
de 8cm renforcé par deux bagues en laiton coupée dans un tube 8-10mm. Ces
bagues sont percées et taraudées pour recevoir les pièces des articulations.
Chevilles filetées d’un côté et deux vis avec épaulement de l’autre côté.
L’écartement des deux bras est maintenu par deux bandes de 11 trous avec une
glissière fendue sur 6 trous.
Compte tenu que la pompe est sur le bras traçant, le compas parfait fonctionne très bien lorsque l’axe descend dans le vérin, mais bloque en remontant, si la pente est trop faible. Il est donc préférable de tracer les courbes en deux fois, toujours à partir du point où le bras traçant est le plus haut dans le vérin.
La réalisation d’un modèle plus petit, en laiton, a
permis de corriger deux détails sur le modèle Meccano initial : La
stabilité est meilleure avec une cornière de 11 trous portant les deux pointes.
Le rangement est plus facile si l’on peut replier
complètement le bras, donc il faut utiliser deux goussets N°133a. De toute
façon on constate les mêmes problèmes, sur le petit modèle en laiton lorsque le
bras traçant remonte dans le vérin.
-VIII- Le Compas de Réduction
Basé sur le
principe de l’homothétie, le compas de réduction permet de relever une mesure
d’un côté et de la réduire ou de l’augmenter, dans le rapport choisi, de
l’autre côté. Pour réaliser cela, il est constitué de deux branches articulées,
se prolongeant de chaque côté du pivot et se terminant chacune par deux
pointes. La position du pivot permet de choisir l’échelle de réduction. Dans
les compas les plus perfectionnés, une crémaillère permet de déplacer
latéralement le pivot avec plus de précision.
Reproduire ce compas en Meccano va poser de nombreux problèmes… Tout d’abord la crémaillère : compte tenu de sa largeur, il faut choisir un modèle de 32cm. Ce n’est pas un modèle Meccano classique, mais comme beaucoup de pignonneries hors normes, compatibles Meccano, on peut facilement s’en procurer. A partir de là, il est évident que le compas en Meccano devra être trois fois plus grand que celui en maillechort qui sert de modèle. Les deux parties du compas seront constituées d’une double épaisseur de bandes de 25 trous (32cm), séparées de ½". Il est impossible d’utiliser des boulons et écrous pour assembler les bandes car il faut que les deux parties soient maintenues l’une contre l’autre. Pour ce compas, encore, il a fallu utiliser des rivets. Les pointes ne peuvent pas être réalisée avec des pièces Meccano ; elles sont taillées dans une bande en acier de 2 cm de large et 2 mm d’épaisseur, de même que les pièces chapotant les curseurs. Ces pièces sont assez épaisses pour en fileter les trous au pas Meccano ce qui résout le problème des écrous qui dépassent.
Le pignon utilisé sur la crémaillère, est un pignon de 15 dents, le seul parfaitement adapté à l’espace utilisable. Pour ne pas dépasser, son épaisseur a été de beaucoup, diminuée.
Le pantographe est l’un des outils mathématiques le
plus simple à réaliser en Meccano. Dès les années 20, un modèle est présenté
sans les manuels… Mais sa réalisation a déçu de nombreux jeunes
meccanophiles... (fig. 1)
Trop de jeux dans les articulations, des erreurs dans
les explications, une très mauvaise utilisation du merveilleux nombre de trous
des bandes N°1. Vingt-cinq trous, C’est-à-dire 24 intervalles, un nombre
divisible par 2, 3, 4, 6 et 8 à condition d’utiliser toute la longueur de la
bande.
Sans trop d’effort, en éliminant les cavaliers N° 45
et en utilisant d’avantage de bras de manivelle N°62, on pouvait déjà beaucoup
améliorer le modèle.
J’ai cherché à rendre cet instrument le plus précis
possible. L’utilisation de la pièce N°62 est un plus pour les points A, B et C
mais cela empêche un pliage complet du pantographe. J’ai eu l’idée en A et C de
transformer les bandes de 25 trous en un bras de manivelle de 25 trous en
sertissant des bagues d’arrêt en ces points.
Il faut percer
le trou à 8mm et utiliser des bagues récupérées sur des épaves de poulies de
25mm. Certaines roues plus épaisses ont des bagues avec la zone de sertissage
plus longue que la normale. J’ai utilisé une bague de ce type en B, avec un
sertissage léger pour maintenir l’articulation mobile. En F, il faut une
articulation précise, permettant d’y placer une cheville filetée. Comme pour le
compas d’inversion, j’ai agrandi le trou à 5mm et placé un œillet de 5mm avec
un trou de 4 mm pour la cheville filetée.
Reste les articulations D et E, il faut
obligatoirement des vis car ces deux articulations doivent pouvoir être
changées de place pour modifier l’échelle.
Impensable d’utiliser de la visserie Meccano de 3,8mm inadaptée aux
trous de 4,2 mm. Les normes américaines des vis
utilisées par Gilbert Erector sont parfaites pour ce travail : 4,05mm,
donc très peu de jeu.
Pour parfaire le tout on peut graduer les bandes de 25
trous et marquer les trous permettant les échelles les plus utilisées. 2, 3, 4,
6, 8 puis 1,5 et 4/3, soit avec un marqueur fin indélébile soit, et c’est le
mieux, avec des chiffres à frapper.
Un dernier détail : pour mieux dessiner, le
crayon doit être lesté ; une vis sans fin est parfaite dans ce rôle.
Fig. 2 : Le pantographe en position pour une
reproduction x3. Pour une réduction de 1/3, il suffit d’intervertir la pointe
et le crayon.
Fig. 3 : le pantographe replié montrant les
graduations sur les bandes
Fig. 4 : détail des graduations obtenues avec des
chiffres à frapper
Fig. 5 : Un bras de manivelle de 25 trous porte
le crayon en C Fig. 6 : Une vis sans fin
permet de lester le crayon en C
Fig. 7 :
Une bague, à manchon plus long, sertie légèrement sur les deux bandes de
25 trous, assure l’articulation en B
Fig. 8 :
Un œillet de 5mm avec un trou de 4mm assure l’articulation en F.
Il porte une cheville filetée, pas trop serrée, pour
assurer un déplacement à 2cm, au-dessus de la table à dessin.
Fig. 10 : Détail du pivot en A
Fig. 9: La visserie ERECTOR,
de 4,05mm, assure une articulation sans jeu en D et E.
Des doubles écrous y sont nécessaires pour
bien bloquer les vis.
Les
graduations, à l’aide de chiffres à frapper, sont bien visibles.
-X- Le compas à Ellipses de Clemens Riefler
Clemens Riefler, inventeur
allemand (1820-1876), fonda une entreprise spécialisée dans la fabrication
d’instruments scientifiques de tout genre. Il conçut et mit au point, entre autre, un ellipsographe très performant.
C’est un ellipsographe de type II, qui fonctionne avec
une croix de saint André. Mais dans ce modèle, la croix est surélevée sur un
trépied et le compas à verge se déplace sous la croix. Un bras de manivelle,
au-dessus de la croix commande le mouvement, ce qui rend le tracé plus fluide.
Seuls quelques exemplaires de ce modèle ont été réalisés par l’entreprise Riefler vers 1880.
La première chose à réaliser était la croix de saint
André. A partir d’une cornière de 10 trous on peut effectuer un pliage, après
avoir découpé un angle dans sa partie centrale. En combinant quatre éléments
ainsi constitués, on obtient la croix recherchée
(Voir fig. 3 et 4).
Pour fixer ces quatre éléments, j’ai utilisé une
couronne à double denture de 14cm car la longrine circulaire N°142 n’a pas
suffisamment de perforations et la bande circulaire N° 145 est trop grande.
Le reste du trépied est réalisé à l’aide de quatre
cornières de 12 trous renforcées par une bande circulaire N° 145. Trois bras de manivelle permettent de fixer
des tringles de 8cm affutées en pointe à l’une des extrémités.
Reste le problème des deux navettes circulant dans
cette croix. Le premier essai a été effectué avec des bandes étroites
multi-perforées de 3 trous, mais cela bloquait trop souvent à l’intersection.
Un second essai avec des bandes étroites multi-perforées de 5 trous a été plus
concluant,
Dans ce cas le fonctionnement était parfait (voir fig.
5 et 6), mais les navettes trop longues ne permettaient pas de tracer des
ellipses de faible excentricité.
Il n’existe évidemment pas de bandes intermédiaires
avec trou central. J’ai tenté une
longueur intermédiaire en façonnant des navettes en poirier. C’est un bois dur
très utilisé pour les outils de dessin (voir fig. 7). Les rondelles plates
servant de frotteurs inférieurs se bloquaient souvent au centre, alors je les
ai remplacées par des rondelles en coupelles du jeu Sonneberger
VEB Injecta (voir fig. 8). Les frotteurs supérieurs, tronçons de bandes
Meccano, se bloquaient également. Je les ai doublé par
des lamelles de laiton un peu plus larges. En graissant légèrement la croix et
les navettes, tout fonctionne bien.
Ce jeu de navettes a représenté l’élément le plus
délicat à mettre au point.
Ce compas a été initialement utilisé avec un crayon
alaisé à 4mm pour être maintenu par un accouplement. Par la suite, j’ai préféré
un tube laiton de 3mm emboité dans un autre tube de 4mm pour recevoir des mines
de 2mm. Les deux tubes sont fendus sur une partie de leur longueur pour être
serrés par une vis dans l’accouplement (voir fig. 9).
-XI- Le compas à Volute de H. Johnson
En dehors de la réalisation de ce compas, H. Johnson
reste méconnu.
Sur ce compas à volute on peut lire : The Volutor H. Johnson’s patent 1857.
Une volute est une spirale, courbe très utilisée en
architecture.
Le Volutor était en laiton
verni, avec ses deux poignées en porcelaine, les roulettes et la poulie en os.
Le cône, en acier était muni d’un sillon hélicoïdal
pour l’enroulement de la ficelle. Le sens de la volute est déterminé par le
sens de l’enroulement du sillon hélicoïdal.
Ce cône était
interchangeable en fonction du type de volute à tracer. Pour une spirale
d’Archimède, une vis sans fin cylindrique remplace le cône.
J’ai voulu garder le style 19ième de ce
compas et j’ai trouvé un bouton de tiroir et une poignée de porte en porcelaine
bien que j’eusse pu utiliser des pièces Meccano telles que les rouleaux de bois
du métier à tisser et tous les autres cylindres en tôle existant. Pour le reste,
j’ai utilisé des pièces dorées pour rappel du laiton originel.
Le cône m’a demandé de longues recherches, alors qu’un
outil, peu cher et très connu des plombiers, a exactement la forme cherchée,
c’est le rodoir de siège pour robinetterie. Les moins chers (10€) ne disposent
que d’un seul cône alors que des modèles de luxe (500€) ont tout un jeu de
cônes en fonction du type de robinet.
On ne trouve malheureusement pas de rodoir avec le pas
inversé pour le dessin des volutes gauches comme sur le dessin du Volutor de H. Johnson.
On comprendra que je me sois limité à un seul cône.
Fig. 1 : Le Volutor de H.Johnson
Fig. 2 : Reproduction en Meccano du compas à volutes de H. Johnson
Fig. 3 : Un rodoir de siège
Fig. 4: Le socle monté en position
Fig. 5: Le socle vu de dessous
Fig. 6: Le socle vu de dessus Fig.
7 : L’axe principal, la poignée et le cône désassemblés
Fig. 8 : L’axe principal, la poignée et le cône assemblés
Le compas à volute est constitué de quatre parties
dissociables.
Tout d’abord un socle dans lequel coulissent les
autres éléments. Il est muni de deux roulettes (roues barillet 25mm-
Meccano-ElecN°518) pour pivoter librement autour de l’axe.
L’axe principal est une tringle de 22cm, filetée à son
sommet et pointue à sa base. Il est fixé par un bras de manivelle sur le socle.
Une bande de 7 trous porte un moyeu serti à chaque extrémité (allègement de
l’ensemble et économie de deux bras de manivelle). Le bouton en porcelaine y
est fixé par un boulon pivot. La vis moletée au sommet de la tringle est
purement décorative.
La poignée en porcelaine est fixée sur une tige de
7,8mm percée à 4,2mm initialement prévu pour simuler un vérin pour des engins
hydrauliques. Le cône est fixé sur cette même tige par une vis (un trou a été
percé à la base du cône et taraudé au pas Meccano). Cet ensemble s’enfile sur
l’axe principal.
La partie coulissante, portant le crayon est constituée
de deux tringle de 29cm et s’enfile dans deux bandes coudées (N°48E 1x3x1
trous). Une ficelle, s’enroulant sur le cône fait coulisser cette partie et
augmente le rayon du tracé.
Dans la position montrée sur le dessin, la ficelle est
fixée sous le socle puis passe sur la poulie et vient s’enrouler sur le cône.
Ce système de palan ralenti l’allongement du rayon et augmente le nombre de
spires. Si la ficelle est directement fixée au niveau de la poulie,
l’allongement est plus rapide et la volute est plus ample. On peut aussi
remplacer le cône par un cylindre, de préférence fileté et la volute est alors
une spirale d’Archimède. J’ai sélectionné deux vielles vis sans fin, trop usées
pour être utilisables. Débarrassées de leur moyeu puis percées à 8mm, elles
sont soudées ensembles et emboitées dans une épaisse rondelle. Un trou de 3,2mm
y est percé et taraudé au pas Meccano.
Le cylindre est prêt pour dessiner une spirale
d’Archimède (voir fig. 10).
Fig. 9 : Le crayon et la partie coulissante
Fig. 10 : Cylindre pour spirale d’Archimède
Fig. 11 : Le compas à Volute en fonctionnement
-XII- Le Compas à Volute de Leyerer (Würzburg)
Sur la base des dessins de Dyck, Leyerer
de l’université de Würzburg a réalisé ce compas en 1997.
Le modèle m’a semblé intéressant, et malgré les
commentaires négatifs du document où j’ai trouvé ces dessins, j’ai tenté de le
copier. Tout semble très facile à faire, sauf la vis sans fin et son écrou.
Après bien des essais, j’ai utilisé une tige filetée avec son écrou provenant
d’un jeu de construction en bois. Cette vis, longue de 65mm et de 9mm de
diamètre devait être traversée dans sa longueur par un axe Meccano.
Le gros problème a été de percer un trou de 4,1mm,
bien centré, sur toute la longueur de cette tige. J’ai utilisé un tube de 10mm
où j’ai encastré et coincé bout à bout, un accouplement Meccano et la vis en
bois. Une mèche de 4mm, traversant l’accouplement, ne pouvait que continuer à
percer le bois dans la continuité de l’axe. L’opération sera répétée par
l’autre extrémité. Puis le trou est doucement élargi jusqu’à s’emboîter en
forçant dans une tringle Meccano de 29cm qui se termine en pointe. La bande à glissière
est une pièce Construction mieux adaptée que les pièces Meccano à cet
emplacement. Une autre pièce délicate est le bras de manivelle double. Un moyeu
de roue desserti est percé d’un trou de 4,2mm perpendiculairement au trou
fileté puis il est serti sur une bande de 3 trous Construction dont le trou
central a été élargi. Le sertissage doit être léger pour que la bande tourne
librement autour du moyeu.
Fig. 1 et 2 : Le dessin de Dyck et sa réalisation par Leyerer
Fig. 3 et 4 : Réalisation en Meccano du compas à
volute de Leyerer
Fig. 5 et 6 :
Détails du bras de manivelle double
Le reste de la construction est simple à réaliser. Les
vis récupérées dans un accouplement à cardan sont mises à contribution dans les
parties articulées. Le compas est bien réussi mais malgré la précision
des pièces utilisées, il est peu fiable sur les premiers tours, et cela, malgré
la présence du petit ressort qui minimise le jeu. Les deux pièces en bois ont
été plongées dans la paraffine fondue pour les lubrifier.
La spirale obtenue est peu
intéressante car les spires sont de plus en plus rapprochées, presque
confondues dans les derniers tours. Je
comprends mieux les commentaires négatifs de l’ouvrage présentant ce compas :
Spezialisierung und Generalisierung in der Entwicklung
der Zirkel
Hans-Joachim
Vollrath, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth
-XIII- Un Compas à Volute à crémaillère
Dans l’ouvrage allemand consacré aux compas : Spezialisierung und Generalisierung
in der Entwicklung der Zirkel - Hans-Joachim
Vollrath, Hans-Georg Weigand,
Thomas Weth
On trouve ce curieux compas à volutes, sans aucune
précision concernant son inventeur (voir fig.1). Le mécanisme est assez simple
et n’utilise uniquement que des roues dentées et une crémaillère. La pointe
traçante est fixée à la crémaillère de façon qu’au départ elle soit exactement
positionnée au centre de la spirale.
Le mouvement très régulier ne peut tracer que des
spirales d’Archimède.
Fig. 1 : Le compas à volute à crémaillère
Le compas se compose de deux parties : un bâti
tripode fixe et une boîte d’engrenages, mobile entraînée par une manivelle.
La difficulté de la construction réside dans
l’installation du premier pignon de 19 dents… il doit respecter trois
conditions : être dans la boîte d’engrenages, être sur l’axe de la
manivelle et être solidaire du bâti tripode.
Sur le triangle supportant le bâti est fixée une
épaisse rondelle en laiton (trou de 9,5mm). Celle-ci est percée latéralement
d’un trou fileté permettant à une vis de bloquer le moyeu du pignon. Le dessus
de la boîte d’engrenages est percé d’un trou de 9,7mm permettant le passage du
moyeu du pignon.
Cet ensemble se fixe sur le dessus de la boîte
d’engrenages.
Fig. 2 : Détails de la fixation du premier pignon au
bâti
Lorsque la manivelle fait tourner la boîte d’un tour,
le pignon, restant fixe, fait tourner la roue dentée de 57 dents de 1/3 de
tour. Le deuxième pignon de 19 dents solidaire de cette roue déplace la
crémaillère de 19/3 de dents soit 4/3cm. Ce qui représente la distance entre
chaque spire.
Fig. 3 & 4 : Détails du mécanisme
Ce rapport de 1/3 (19/57) peut facilement être
modifié. L’accès et le remplacement des deux roues dentées peuvent se faire en
quelques secondes et Meccano nous propose une gamme de rapports très variée.
15 et 60 dents soit 1/4 – spires espacées de 1cm - 25 et 50 dents soit
1/2 – spires espacées de 2cm
38 et 38 dents soit 1/1 – spires espacées de4cm - 50 et 25 dents soit 2/1 – spires espacées de
8cm
Afin d’économiser les bras de manivelle, j’ai préféré
sertir des moyeux de roues (poulies de 25mm abimées et irrécupérables) à
l’extrémité des trois cornières de 11 trous ainsi que sur une bande de 4 trous
pour fixer le porte-mine sous la crémaillère.
Fig. 5 : Réalisation en Meccano du compas à
volute à crémaillère
-XIV- Les règles articulées et à glissières, de
van Schooten
Le
mathématicien flamand Frans van Schooten le jeune
(1615-1660) enseigna à l’université de Leyde. Il fut surtout connu pour avoir
publié les œuvres de Descartes. Parmi ses travaux, il imagina des systèmes de
règles articulées et coulissantes permettant de tracer les coniques en se
basant sur leur définition. Les illustrations qui suivent proviennent des
dessins de van Schooten.
Une ellipse est l’ensemble
des points du plan dont la somme des
distances à deux points fixes : les foyers, est constante.
Dans la figure ci-dessus, les foyers
sont H et I.
On constate que EH + EI = HG, qui est
une longueur constante.
Une parabole est
l’ensemble des points du plan équidistants
d’un point fixe : le foyer, et d’une droite : la directrice.
Dans la figure de gauche, ci-contre, le
foyer est en B, la directrice est la droite GE. On constate que les distances
DB et DG sont égales.
Une hyperbole est
l’ensemble des points du plan dont la différence
des distances à deux points fixes : les foyers, est constante.
Dans la figure ci-dessous, les foyers
sont C et F. On constate que MF – MC = MF – MG = GF, qui est une longueur
constante.
Dans la figure ci-dessous, à gauche, les
foyers sont C et F. On constate que MC – MF = MC – MD = CD, qui est une
longueur constante.
En fait, l’ellipsographe et
l’hyperbolographe, ci-contre, ne sont qu’un seul et même outil, pouvant se
disposer de deux façons pour tracer, soit des tronçons d’ellipses soit des tronçons
d’hyperboles. Le curseur en B est fixe. Les points F et F’ portent une pointe
et sont fixés au foyer.
Selon l’endroit où l’on place le curseur
crayon M, on trace une ellipse ou une hyperbole, dont les paramètres sont
définis par les positions choisies pour F, F’ et B.
Dans les deux figures nous avons MF’ =
MB par symétrie.
Dans la figure du haut, nous avons MF + MF’
= MF + MB = FB c’est donc un Ellipsographe.
Dans la figure du bas, nous avons MF – MF’ = MF – MB = FB c’est donc un Hyperbolographe.
Les glissières sont constituées de deux
bandes étroites assemblées d’un côté, par une pièce triangulaire N°77, de
l’autre par une bande de 3 trous perforée au 1/4". Pour empêcher les têtes
de vis de buter lors des glissements, plusieurs vis ont été remplacées par des
rivets, soit de 4mm soit de 5mm avec trou de 4,2mm pour permettre la traversée
d’un axe. Les vis fixées en F et F’ sont
traversées par un trou de 1,5mm pour permettre d’y enfoncer une aiguille de
phono en force. Ce sont les deux points fixes de cet outil.
A l’essai, l’ellipsographe et surtout l’hypebolographe sont assez décevants. Un outil rotatif,
compas à ellipse ou autre, est beaucoup plus maniable. Il y a trop de
frottements entre les diverses pièces en mouvement et un minimum de trois mains
est nécessaire. De plus certains éléments sont censés s’entrecroiser et les
animations visibles sur internet nous montrent des tracés complets et
impeccables. Dans la vraie vie, cela ne se passe pas ainsi, et deux bras articulés ne peuvent pas
se croiser et de ce fait on ne peut tracer que de petits tronçons de courbe à
la fois.
Par contre le deuxième hyperbolographe de
Frans van Schooten (voir page suivante) est beaucoup
plus maniable. Il fonctionne parfaitement, seulement deux articulations, deux
glissières et un seul curseur portant le crayon. Les foyers, positionnés en F
et F’ sont équipés de vis avec pointes comme les modèles précédents. Compte
tenu de la longueur des bras, les glissières sont renforcées par une double
épaisseur de bandes étroites. Un ressort de compression assure un maintien
souple du crayon.
On remarque la symétrie du modèle qui
permet de constater : MF’ – MF = MF’ – MG = GF’
On en revient donc encore à la définition
de l’hyperbole. La position des points E et F’ est modulable sur les bandes, il
faut juste conserver la symétrie. On peut ainsi modifier les paramètres de
l’arc d’hyperbole tracé.
On peut aussi remplacer les bandes FF’, GE,
FE et GF’ par quatre autres glissières avec des curseurs bloquants en E et F’ et
ainsi on pourrait moduler les paramètres de l’hyperbole sans être tributaire
des trous Meccano. Autre astuce, on peut utiliser des bandes ERECTOR perforées
au ¼" pour augmenter les possibilités de réglages.
Le parabolographe pose beaucoup plus de
problèmes. Deux curseurs sur une même glissière doivent se croiser. C’est
facile dans des animations géométriques sur internet, mais irréalisable avec
l’outil présenté sur le dessin de Van Schooten.
Je pense que Van Schooten
était aussi l’inventeur du cinéma d’animation géométrique ; c’est la seule
façon d’envisager son dessin. En Meccano, j’ai résolu le problème du croisement
des deux curseurs en les plaçant sur deux glissières solidaires superposées.
Reste l’équerre AM coulissant sur la règle
DD’.
Deux pièces à œil N°50 fixées sur une
architrave N°108 coulissent sur une bande de 25 trous munie de deux pointes en
D et D’.
Pour assurer une rigidité parfaite de la
glissière double et du losange, des moyeux de roues sont sertis sur deux des
pièces triangulaires N°77 et sur la bande de 11 trous en C et F.
DD’ est la directrice et F le foyer de la
parabole et, par symétrie par rapport à la diagonale MCB, on a bien
MA = MF.
Au niveau pratique cet outil est peu maniable. Trois mains sont à peine suffisantes, il y a trop de frottement avec 4 glissières, trois curseurs dont deux se croisant obligatoirement. Manipuler ce parabolographe est un vrai défi à la mécanique, même en graissant les divers éléments en mouvement.
Afin de minimiser les frottements, j’ai remplacé, dans une deuxième
version, la règle DD’ par une tringle de 50cm et les deux pièces à œil par une
bande coudée de 7 trous. Une roulette assure le bon coulissement du chariot constitué
de deux architraves. La tringle est fixée à la table de dessin par 4 pointes
placées dans deux accouplements.
Même ainsi il faut toujours trois mains pour
actionner le parabolographe, mais son fonctionnement est un peu plus souple.
Fin